Вывод уравнения колебания струны

УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Разглядим натянутую струну, закрепленную на концах. Если струну вывести из положения равновесия (к примеру, оттянуть ее либо стукнуть по ней), то струна начнет колебаться.

Будем рассматривать только поперечные колебания, т.е. такие, когда движение всех точек струны происходит в одной плоскости и в направлении, перпендикулярном положению равновесия. Если Вывод уравнения колебания струны положение равновесия принять за ось , то процесс будет характеризоваться одной скалярной величиной - отклонением от положения равновесия точки струны в момент времени . Потому, чтоб знать положение хоть какой точки струны в случайный момент времени , необходимо отыскать зависимость от и , т.е. отыскать функцию .

При каждом фиксированном значении график функции представляет Вывод уравнения колебания струны форму струны в этот момент времени. Личная производная дает при всем этом угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой (рис. 1.2). При неизменном значении функция дает закон движения точки с абсциссой повдоль прямой, параллельной оси , производная - скорость этого движения, а 2-ая производная - ускорение. Задачка заключается в том, чтоб составить Вывод уравнения колебания струны уравнение, которому должна удовлетворять функция .

Для решения данной задачки создадим несколько догадок.

А. Будем считать струну полностью гибкой, т.е. не сопротивляющейся извиву; это значит, что если удалить часть струны, лежащую по одну сторону от какой-нибудь ее точки, то сила натяжения , заменяющая действие удаленной части, всегда будет ориентирована по касательной Вывод уравнения колебания струны к струне (рис. 1.2).

Б. Струна упругая, вследствие чего появляются только силы натяжения, которые подчинены закону Гука: натяжение струны пропорционально ее удлинению.

В. Пренебрегаем шириной струны, т.е. считаем ее нитью.

Г. На струну в плоскости колебания действуют силы, параллельные оси , которые могут изменяться повдоль струны с течением Вывод уравнения колебания струны времени. Будем считать, что эти силы безпрерывно распределены повдоль струны. Величину силы, направленной ввысь, условимся считать положительной, а вниз – отрицательной. Плотность рассредотачивания этих сил обозначим через . Если единственной наружной силой является вес струны, то , где - плотность струны, а - ускорение силы тяжести. Силами сопротивления среды, в какой колеблется струна, пренебрегаем.

Д. Будем рассматривать Вывод уравнения колебания струны только малые колебания струны. Математически это значит, что отличия малы и, как следует, угловой коэффициент струны (угол ) в хоть какой момент времени настолько мал, что квадратом углового коэффициента можно пренебречь в сопоставлении с единицей).

Е. Величину силы натяжения можно считать неизменной, не зависящей ни от точки Вывод уравнения колебания струны ее приложения, ни от времени .

Дадим обоснование этому допущению. Выделим случайный участок струны, который при колебании струны деформируется в участок (рис. 1.3). Длина дуги в момент времени равна:

.

Как следует, при предположении п. Д в процессе колебания удлинения участков струны не происходит. Отсюда, в силу закона Гука, следует, что величина натяжения в каждой Вывод уравнения колебания струны точке остается постоянной во времени. Покажем также, что натяжение не зависит и от , т.е. . Вправду, на участок струны действуют силы натяжения и , направленные по касательным к струне в точках и , наружные силы и силы инерции. Воспользуемся принципом кинетостатики, на основании которого все силы должны уравновешиваться (принцип Даламбера Вывод уравнения колебания струны). Согласно принципу Даламбера сумма проекций на ось всех сил равна нулю. Потому что рассматриваются только поперечные колебания, то наружные силы и силы инерции ориентированы по оси и поэтому сумма проекций сил запишется так:

.

Но , , где - угол меж касательной в точке с абсциссой к струне в момент с положительным Вывод уравнения колебания струны направлением оси . Итак, имеем

.

Беря во внимание малость колебаний, можно поменять:

.

Тогда получим, что . Отсюда, ввиду произвольности и , следует, что величина натяжения не находится в зависимости от . Таким макаром, можно считать, что при всех значениях и .

Перейдем сейчас к выводу уравнения колебания струны при изготовленных допущениях (см. пп. А – Е).

Составим сумму Вывод уравнения колебания струны проекций всех сил на ось : сил натяжения, наружных сил и сил инерции.

Сумма проекций на ось сил натяжения, действующих в точках и , запишется в виде

.

Вследствие догадки п. Д

.

Как следует, .

Замечая, что ,

совсем получаем

. (1.112)

Обозначим через внешнюю силу, действующую на струну параллельно оси и рассчитанную на единицу длины. Тогда проекция на Вывод уравнения колебания струны ось наружной силы, действующей на участок , будет равна

. (1.113)

Обозначим через линейную плотность струны; тогда на участок будет действовать сила инерции, равная

. (1.114)

Приравнивая к нулю сумму проекций всех сил (1.112), (1.113), (.114), получим

. (1.115)

Если подынтегральная функция непрерывна, то из равенства нулю интеграла следует, что функция тождественно равна нулю в этой области. Предполагая существование Вывод уравнения колебания струны и непрерывность вторых производных функции , также непрерывность функций и , заключаем, что в силу произвольности и , подынтегральная функция должна приравниваться нулю для всех и :

либо

. (1.116)

Это и есть разыскиваемое уравнение колебаний струны.

Если струна однородная, т.е. , то уравнение (1.116) обычно записывается в виде

, (1.117)

где , .

Неоднородное уравнение (1.117) именуется уравнением принужденных колебаний струны; если , т.е. наружняя Вывод уравнения колебания струны сила отсутствует, то уравнение (1.117) становится однородным:

. (1.118)

Уравнение (1.118) обрисовывает свободные колебания струны без воздействия наружных усилий.

Уравнение (1.117) – одно из простых уравнений гиперболического типа и в то же время одно из важных дифференциальных уравнений математической физики. К нему сводится не только лишь рассмотренная задачка, да и многие другие.


vivchennya-strukturno-semantichnih-aspektv-tekstu-referat.html
vivedem-sootnoshenie-neopredelennostej-dlya-difrakcii-elektrona.html
vivedenie-ls-iz-organizma-ekskreciya.html